apa iya...e itu bilangan irasional..?

kita akan coba membuktikan apakah e bilangan irasional.

kata mr.Euler "bilangan saya (pen:Euler) atau bilangan natural dapat ditulis dalam deret" berikut

$e=\sum_{0}^{\infty }\frac{1}{n!}$

kita akan gunakan pembuktian dengan kontradiksi disini, yaitu dengan mengasumsikan bahwa $e$ adalah bilangan rasional artinya :

$e=\frac{a}{b},\;\;a,b\in Z^{+}$

nah...ini juga berarti $b!e$ juga bilangan bulat positif

nah skarang mari kita jabarkan

$b!e=b!\sum_{0}^{\infty}\frac{1}{n!}$

$b!e=\sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}\;\;\sum_{n=b+1}^{\infty }\frac{b!}{n!}$

dengan sedikit analisis kita tau bahwa
$\sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}$ merupakan bilangan bulat positif

karena $\sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}$ dan $b!e$ merupakan bilangan bulat positif maka $\sum_{n=b+1}^{\infty }\frac{b!}{n!}$ juga harus bilangan bulat positif

nah apakah $\sum_{n=b+1}^{\infty }\frac{b!}{n!}$
juga bilangan positif mari kita tunjukkan...

$\sum_{n=b+1}^{\infty }\frac{b!}{n!}=\frac{b!}{b+1!}+\frac{b!}{b+2!}...$

$\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}...$

kita ketahui bahwa

$\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)...}<\frac{1}{(b+1)(b+2)...}$

ingat bahwa $0<a<b\:\:maka \:\:0<\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

sehingga

$\sum_{n=b+1}^{\infty }\:\frac{b!}{n!}<\sum_{n=b}^{\infty}\:\left ( \frac{1}{b+1} \right )^n$

dengan menggunakan penjumlahan deret geometris diperoleh :

$\sum_{n=b}^{\infty}\:\left ( \frac{1}{b+1} \right )^n=\frac{1}{b}$

berakibat

$\sum_{n=b+1}^{\infty}\:\frac{b!}{n!}<\frac{1}{b}$

nah... karena
$0<\frac{1}{b}\leq 1$
maka
$0<\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}\leq 1$

jadi
$\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}$
bukan bilangan buat positif ini berarti asumsi kita salah, maka terbukti $e$
bilangan irasional

thanks for ariaturns.wordpress.com Anda Suka artike Ini Silahkan Bagikan di Facebook anda>>>>>>>

Blognya | Anwar

FB | Anwar

feedjit

10.13.2009

apa iya...e itu bilangan irasional..?

0 komentar:

BOok BoX

Link

Categories

Archives